(잡념)새벽에 심심해서 생각해본 몬티홀 딜레마
이미 유명해서 다들 아시는 퀴즈인 몬티홀 딜레마라는 게 있지요.
퀴즈쇼에 3개의 문이 있고 그 문들 중 하나에는 뒤에 신형 자동차가, 나머지 두개의 문 뒤에는 염소가 있는 문제말입니다.
사회자는 문 뒤에 무엇이 있는지 전부 알고 있고요.
여기서 플레이어가 1,2,3번 문 중에 1번 문을 선택했다고 했을때, 사회자는 3번 문을 열어서 염소를 보여줍니다. 그리고 선택을 바꿀 것인가 묻게 되죠.
그럼 여기서, 선택을 바꾸는 것이 더 좋을까요? 아니면 유지해야 할까요?
이 딜레마에서의 정답은 이미 널리 알려진 바와 같이 “바꿔야 한다”입니다. 그 이유는 사회자가 문을 열어 염소를 보여줌으로서 확률적인 변수가 바뀌어서 문을 바꾸었을 때 자동차일 확률이 66.6%가 되기 때문이라고 합니다.
그런데 저는 저 설명이 쉽게 이해가 되지 않더군요.
‘아니, 3번 문이 나가리 됐으면 1번 아니면 2번이니까 50대50아니야?’라고 생각이 들뿐이죠.
그러다가 오늘 새벽 잠도 안오고 심심해서 뒤척이다가 이 퀴즈를 좀 생각해보고 제 나름대로 야매(?)설명 방식을 찾아냈습니다.
우선 저는 염소를 a와 b 두마리로 구분지어 보겠습니다. 사회자는 새차와 염소a,b가 어디있는지 모두 알고 있습니다. 편의상,
1-염소a / 2-새차 / 3-염소b
라고 가정하고 생각해보려고 합니다.
어짜피 맨처음 플레이어가 선택할 수 있는 경우의 수는 3개입니다. 그리고 사회자는 중간에 문을 열어서 반드시 염소를 보여주어야 합니다. 그렇다면 해당 상황에서 선택을 바꾼경우와 고수한 경우의 결과를 비교해보겠습니다.
1번 문을 선택할 시 사회자는 3번문을 열어 염소b를 보여줄 수밖에 없습니다.
선택고수 : 염소a
선택변경 : 새차
2번 문을 선택할 시 사회자는 1번 혹은 3번 문을 열어 염소a,b 중 하나를 아무거나 보여줄 것입니다
선택고수 : 새차
선택변경 : 염소a or 염소b
3번 문을 선택할 시 사회자는 1번문을 열어 염소a를 보여줄 수밖에 없습니다.
선택고수 : 염소b
선택변경 : 새차
결론
선택고수시 새차가 나올 확률 33.3%
선택변경시 새차가 나올 확률 66.6%
결국 지극히 확률적인 문제였더군요. 즉, 사회자가 문을 열어주는 것은 선택에 있어서 확률을 50대50으로 만드는 것이 아니라 선택을 변경할 시 애초의 확률 33.3%에 33.3%의 확률을 더해주는 것이지요.
다만 여전히 실증적으로 그렇게 확률이 나타나는지에 대해서 의구심이 있긴 하네요. 그러나 통계, 확률이 거짓말을 하지 않는다는 유명한 실험들을 몇번 보고 나니 위 실험 결과 역시 같은 것이라고 생각이 됩니다. 아무튼 확률이란 것은 참 알다가도 어렵고 논리적인 변수의 통제라는 것이 얼마나 묘한 것인지 새삼 느끼게 되는 새벽입니다.
글쓰기 |
http://www.mathwarehouse.com/monty-hall-simulation-online/
몬티홀 문제는 너무 유명한 이야기라 시뮬레이션 사이트도 여러개가 있죠
직접 돌려보시면 됩니다.