미시경제학 문제 질문 하나만 부탁드립니다

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2016-04-18 00:26:42

혼자서 미시경제학을 공부하고있는데

너무 힘드네요.

이런 질문글이 보기 싫은분들은 지금 뒤로가기 부탁드립니다.

저도 프리톡에 올려도 되나 싶었지만, 예전에 경제 문제 질문에 답글달며 즐거웠던 기억이 나서

고수분들께 질문드립니다..

소비자 선택 이론에 관한 문제입니다.

U(X1,X2)=X1^0.3 * X2^0.7 + 2*X2

U=utility=

X1재화의 0.3승 * x2재화의 0.7승 + 2곱하기 x2재화 입니다.

이고 P1=1, P2=2, Income=100 입니다.

이상황에서 최적 x1과 x2를 구해야 하는데.

이전까지는 라그랑지를 이용해 도출한

MRS=αX2/βX1=P1/P2로 (여기서는 알파가 0.3, 베타가 0.7)

X1과 X2의 관한 식을 도출한다음

P1*X1+P2*X2=I 식에 값을 대입하여 쉽게 풀었습니다.

그런데 갑자기 U식에 2*X2가 더해져버리니까 미쳐버릴것 같네요.

도저히 계산이 안됩니다. 어떻게 해야하나요?

Comments

2016-04-18 00:38:56

걍 일차미분으려로 임계점 찾아서 하시면 됩니다. 라그랑지안이니 뭐니 결국은 같은 방법이에요. 임계점 찾기.

2016-04-18 00:53:57

제가 아직 실력이 모자라서 답을 못구하겠네요...효용함수에 X1X2에다가 +X2가 붙으니까 어떻게 접근해야 하는지 모르겠습니다.

Updated at 2016-04-18 05:20:32

교수가 optmization의 기본도 안가르치고 최종 유도식만 가르쳤나보네요. 어려운 수학도 아니고 고1수준이면 충분할탠데... 효용함수의 convex/concave를 가정하면 그냥 편미분해서 0되는 지점(임계점)이 최적이 되는거고 그게 아니면 모든 임계점과 코너포인트, 혹은 특이점등을 비교해서 가장 큰 효용을 주는 점이 최적이 되는거죠. 라그랑지안이나 KKT같은 이론은 제한조건이 있을때 좀 더 쉽게 풀기 위해 유용한것이지 기본적으론 결국 임계점, 특이점 찾는거에요. 함수 형태에 대해서 조금 감이 있으면 뭐든 어렵지 않게 풉니다.

본문에 나와있는 문제는 제한조건이 없어서 두 재화를 무제한으로 사면 그게 최적입니다. 효용이 무제한이 되죠. 제한조건, 예산에 대한 조건, 이 있을탠데 말씀해 주셔야 할 것 같네요.

p1x+p2y=1 두고 라그랑지안 만들어서 x(첫번째 재화),y(두번째 재화), 람다에 대해 각각 편미분해서 푸니 y는 7/(4p2)나오네요.

2016-04-18 10:24:35

감사합니다!
저는 +2x2가 붙으니 라그랑지안 계산이 안되네요. P1=1,p2=2, income =100이 제약조건 아닌가요?

2016-04-18 10:39:48

라그랑지안 함수는

L=x^0.3 * y^0.7 + 2*y+lambda(1000-x-2y) 입니다. x,y,lambda에 대해서 편미분 세번하면 됩니다.

2016-04-18 00:41:18

계산은 안해봤지만

MRSx1,x2 = MUx1/MUx2 = P1/P2로 놓고 풀면 풀수 있지 않을까요?

2016-04-18 00:54:32

그전까지는 그렇게 풀었는데 효용함수에 +2X2가 붙어버리니 계산이 안되네요...

2016-04-18 01:22:43

접근법이 틀린 게 아니라 원래 계산이 어려운 것일 수도 있겠네요.

라그랑지를 쓰던 MRS_{12} =P_1/P_2와 예산식을 연립해서 풀던

0.6(x_2/x_1)^0.7 =0.7(x_1/x_2)^0.3 +2가 나오지 않나요? 그러면 (x_2/x_1)^0.1==t로 두면 결국

6t^10-20t^3-7=0의 해를 구해야 하는데, 양의 해가 근사값으로 t=1.218정도 나오는 것 같은데, 이것과 예산식을 연립하면 근사해를 구할 수 있겠네요. 음... 제 계산이 틀렸을 수도 있어요.

2016-04-18 02:25:26

정말 감사합니다!!! X2/X1꼴을 t로 치환해서 x1 x2관계를 구할수가 있군요.

그런데 10제곱식 해는 어떻게 구하는건가요? 제가 수학에 약해서 그런지 신기하네요.

2016-04-18 15:55:02

Five+@님의 계산이 정확하시고 그나마 가장 계산이 쉬운 접근같아보입니다. 처음부터 x1을 없애는 방식으로 가니 더 복잡해지네요. 저 10차방정식은 인수분해가 되나 모르겠지만, 직접 인수분해를 하셨을수도있고 컴퓨터로 계산하셨을수도 있습니다.(전 컴퓨터에게 시켰습니다.)

애초에 문제가 너무 지저분해서 "아 이거 어떻게 접근해야하지"라고 혼란스러워하실만해요. 어디에 나오는 문제인지는 모르겠지만 단순히 계산이 어려운 문제라서 세부적으로 10차방정식은 어떻게 푸는가와 같은 부분에 관해서는 크게 신경쓰지 않으셔도 될거같습니다. 개인적으로는 이런 계산만 복잡한 문제를 굉장히 안좋은 문제라고 생각해서 출제자는 과연 저 문제를 직접 풀어보고 나서 제시한건지 궁금하네요.