2점슛 60%와 3점슛 40%은 동일한 승리 기대값을 가지는가?
가정은 이렇습니다.
1. 100번의 포제션을 서로 한번씩 번갈아 가며 공격
2. 2점슛은 60% 성공률 & 3점슛은 40% 성공률로 동일한 기대값
3. 100번의 공격 후 누가 더 승리할 가능성이 높은지에 대한 비교
일반적으로는 득점 기대값이 같으므로 승리 기대값도 같은 결과가 나올 것이라고 생각할 수 있죠.
과연 그럴까요
간단한 코드를 작성해서 비교를 해보았습니다.
100번 슛을 쏘면 메이드한 슛은 0개부터 100개까지 가능하죠, 이론상
2점슛을 n번 성공했을때, 이를 이기기 위해 필요한 3점슛 성공 갯수는 floor(n*2/3)+1입니다
(floor는 버림입니다.)
ex) 34번의 2점슛을 성공했다면, 이를 이기기 위해선 34*2=68득점 이상을 기록해야하고, 23개 즉, 위와 같은 floor(34*2/3)+1만큼의 3점슛을 성공하면 됩니다. 물론 그보다 더 성공해도 되고요.
가능한 각각의 n에 대해 이길수 있는 모든 3점슛 갯수와 이만큼의 3점슛을 기록할수 있는 확률을 계산하여 모두 더하면 3점슛 40%팀이 이기는 확률이 나옵니다.
반대로 하면 2점슛 60%이 이길 확률이 나오고요.
이렇게 했을 경우 2점슛팀과 3점슛팀의 승리 확률은..
point3-win point2-win
0.4196585 0.4457678
2점슛 60% 팀이 44.58%로 41.97%의 3점슛 팀보다 앞서게 됩니다.
(두 승률의 합이 100이 되지 않는건 비기는 경우가 있기 때문인데, 비길 경우 연장전의 개념으로 동일한 방법을 시행하면 되는 것이므로... 실제 두팀의 승률은 저보다도 좀 더 큰 차이를 보일 것 입니다.)
왜 이런 현상이 나타날까요?
2점슛과 3점슛을 각각 60%, 40%로 쏘았을때의 확률 분포는 아래와 같습니다.
보시다시피, 3점슛이 더 넓은 점수 분포를 보이죠. 재밌게도 두 확률분포를 겹쳐보면, 3점슛이 다득점 경기 확률이 뚜렷히 높은 것을 알수 있습니다. 2점슛에 비해 저득점이 나오는 빈도에 비해 고득점이 나오는 빈도가 더 높은 확률을 보이는데 문제는 이기는 것은 1점만 이겨도 이긴다는 것이죠.
결국 저만큼은 "잉여득점"화 됩니다.
다만 실제 경기에서는 3점슛 40%보다 2점슛 60%가 더 달성하기 어려운 미션이기에.. 현대 농구의 흐름에서 3점슛이 2점슛에 대해 갖는 비교우위는 당연합니다.
올시즌 리그 평균 3점슛 성공률은 35.5%, 2점슛 성공률은 52.0%이며, 이 수치를 사용했을 때 3점슛 팀의 승률은 47.49%, 2점슛팀은 38.97%가 나옵니다. 이전에 말씀드린 대로 무승부를 감안하고 판단하시면 실제 차이는 더 커집니다.
어떻게 계산되었는지 궁금해하실 분들을 위해 R code도 첨부합니다.
# Scoring stability
# Probability to make 2- or 3-point shot "n-time"
score <- data.frame(made=c(0:100), p2=dbinom(0:100, size=100, prob=0.6), p3=dbinom(0:100, size=100, prob=0.4))
tmp <- as.data.frame(matrix(nrow = 101, ncol=4))
colnames(tmp) <- c("point3-win", "point2-win")
for (n in 0:100){
n2 <- floor(n*2/3) + 1 ; n3 <- floor(n*3/2) + 1
tmp[n+1,"point3-win"] <- score[n+1,"p2"] * pbinom(n2, size=100, prob=0.4, lower.tail = F)
tmp[n+1,"point2-win"] <- score[n+1,"p3"] * pbinom(n3, size=100, prob=0.6, lower.tail = F)
}
colSums(tmp)
일하다 좀이 쑤시니 별걸 다하네요
참고로 3점슛 성공률이 달라지더라도 2점슛 성공률이 꾸준히 1.5배로 높다면 기대 승률은 거의 유지됩니다. point3 point2 3P%
1 0.4049652 0.4378578 0.20
2 0.4115494 0.4418630 0.25
3 0.4157497 0.4442418 0.30
4 0.4183272 0.4454735 0.35
5 0.4196585 0.4457678 0.40
6 0.4199165 0.4451767 0.45
7 0.4191378 0.4436201 0.50
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추가하는 내용입니다.
N=100일 경우 (총 100포제션)에는 저렇게 나옵니다만,
포제션 숫자를 바꿔가면서 계산해보면
point3 point2 trial ratio
1 0.4153976 0.4428581 90 1.066107
2 0.4129961 0.4412159 85 1.068330
3 0.4103778 0.4394235 80 1.070778
4 0.4075080 0.4374564 75 1.073492
5 0.4043436 0.4352844 70 1.076521
6 0.4008305 0.4328690 65 1.079931
7 0.3968995 0.4301614 60 1.083804
8 0.3924607 0.4270973 55 1.088255
9 0.3873945 0.4235909 50 1.093436
10 0.3815375 0.4195244 45 1.099563
11 0.3746600 0.4147309 40 1.106953
12 0.3664268 0.4089643 35 1.116087
13 0.3563243 0.4018433 30 1.127746
14 0.3435177 0.3927381 25 1.143283
15 0.3265301 0.3805136 20 1.165325
16 0.3023987 0.3628525 15 1.199914
17 0.2637844 0.3340538 10 1.266390
18 0.1842872 0.2747852 5 1.491070
위와 같이 바뀝니다.
즉, 적은 포제션일때는 2점이 더욱 높은 승률을 보인다는 거죠,
(값보단 저 트렌드에 더 촛점을 맞추시는게 좋을 듯 합니다.)
이미 동점상황에서 4쿼터를 시작한다..
그렇다면 가용 포제션은 100개가 되지 않겠죠, 이때는 기대값은 같더라도 확률 높은 2점을 선택하는게 더 승리 확률을 높이는 방법이라는 말도 됩니다.
또한 3점을 많이 쏘는 팀이라면, 포제션 수를 최대한 늘리는 것이 관건이라는 말도 됩니다.
그러면 결과적으로는 승리확률을 따라잡을 수 있게 되죠.
농구라는 게임의 한경기 100번의 포제션교환, 그리고 1.5배의 점수차, 이게 참 묘한 밸런스를 만들어내네요.
(물론 이미 약간 3점쪽으로 기울어져 깨지긴 했습니다만..)
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댓글에 오르니티어 님의 지적 덕분에 계산식에 있던 약간의 헛점을 찾았습니다.
pbinom(n2, size=100, prob=0.4, lower.tail = F)
위식이 2점슛 성공 갯수 n의 득점보다 높은 득점을 기록하기 위한 3점 성공갯수 n2 이상을 기록할 누적확률에 대한 함수인데, 이게 원래는 lower.tail=T일 경우엔 n2와 같거나 작은 범위를 구하는데, lower,tail=T일 경우엔 같거나가 포함되지 않았네요; 그래서 무승부의 가능성 이상으로 빈 확률이 생겼었습니다.
이걸 여집합으로 바꿔서 식을 조금 변형해주면 이렇게 됩니다
1-pbinom(n2-1, size=100, prob=0.4, lower.tail = T)
(*n2-1을 해줘야 n2가 포함되어 n2이상 성공횟수에 대한 누적확률이 구해집니다)
요렇게 하니까 빈틈없는 정확한 식이 되었네요.
이렇게 하더라도 처음의 결과, 2점슛 팀이 승리확률이 높았던 것에는 변화가 없습니다.
다만 수치는 조금 변했는데, 2점슛 60% vs. 3점슛 40%가
point3-win point2-win
0.4866988 0.4907497
이렇게 좀더 미세한 차이가 되었네요
포제션 빈도에 따라 성공확률 비가 변하는 건 아쉽게도 이전처럼 뚜렷한 차이를 보이진 않게 되었지만,
그래도 비율이 증가하는 경향성은 유지가 됩니다.
point3 point2 trial ratio
1 0.4859814 0.4902511 90 1.008786
2 0.4855763 0.4899696 85 1.009047
3 0.4851339 0.4896622 80 1.009334
4 0.4846482 0.4893246 75 1.009649
5 0.4841115 0.4889517 70 1.009998
6 0.4835142 0.4885368 65 1.010388
7 0.4828441 0.4880713 60 1.010826
8 0.4820850 0.4875440 55 1.011324
9 0.4812154 0.4869401 50 1.011896
10 0.4802054 0.4862388 45 1.012564
11 0.4790128 0.4854108 40 1.013357
12 0.4775749 0.4844129 35 1.014318
13 0.4757941 0.4831773 30 1.015518
14 0.4735072 0.4815907 25 1.017071
15 0.4704113 0.4794381 20 1.019189
16 0.4658218 0.4762042 15 1.022288
17 0.4574812 0.4699768 10 1.027314
18 0.4317921 0.4479722 5 1.037472
그래도 빨리 지적해주셔서 다행이네요.
좋은 분석이네요.
다만 공격에 성공할 경우에는 포제션이 무조건 바뀌고
실패할 경우에는 포제션을 유지하는 케이스(공격리바)도 있다는 것 까지 감안하면
더 정확할 것 같습니다.