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확률, 통계에 대한 질문입니다^^
 
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2018-11-09 10:20:47

안녕하세요.
먼저 저는 학창시절 수학을 정말 싫어하고 못했으며,
오늘 질문에 대해 명쾌한 답을 내려주셔도
이해를 못할수 있음을 먼저 양해드립니다

보통 동전 던지기를 할때 앞면이 세번연속 나올 확률,
주사위를 던져서 숫자 1이 세번 나올 확률을 구할때
동전은 1/2 확률이 그대로 세번
주사위는 1/6 확률이 세번이라고 알고 있거든요..

마찬가지로 자유투를 던진다고 하면
단순히 들어간다 아니다라고만 가정하면
1/2 확률일텐데...

만약 자유투 성공률 80% 인 슛터가 있습니다.
이 슛터가 현재 자유투를 9개 던졌는데
8개가 들어가고 1개가 튕겨나왔다고 한다면..
열번째 자유투가 들어갈 확률은 몇%인가요?

앞선 아홉개 자유투의 영향으로 80% 이하가 될까요?
아니면 단순히 성공률 80% 전제가 있으니 80%가
맞나요?
단순히 들어간다 아니다로 50% 인가요?

궁금하네요^^;;


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Comments
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Updated at 2018-11-09 10:23:18

음 수학적확률의 정의와 독립시행에 대해서 이해하실 필요가 있으십니다. 자유투 80퍼는 수학적 확률이 아니라 그냥 기록에 의한 통계이죠

WR
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2018-11-09 10:36:08

아...수학적확률과 기록...
이게 다른 개념이군요..;;
감사합니다

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Updated at 2018-11-09 10:50:18

자유투 성공률에 수학적 확률이란게 있다면 그것은 어떤 개념인가요? 저도 확률공부 많이 한 사람인데, 말이 이해가 안되네요. 말씀하신 수학적확률이라는 것이 '현재' 이 선수의 '본질적인, 현재 관찰할 수도 알 수도 없는 실제 자유투 성공률'을 말씀하시는 건가요?

 

만약 그렇다면 애초에 그러한 수학적 확률은 '알' 수 없고 오직 추정만 할 수 있는 것이기 때문에 지금 본문의 질문과는 상당히 다른 내용이라고 생각합니다.

 

동전을 던져서 앞면이 나올 확률이라는 것도 실제 확률분포는 아무도 모르죠. 동전던지기 시스템의 수학적 확률 분포에서 1억분의 1 확률로 옆으로 선다는 가능성이 있다면 그것은 평균적으로 1억 번 시도해야 확인 수 있을테고 만약 10억분의 1이라면 10억번 시도해야 확인할 수가 있죠. 다소 다른 얘기를 하신것 같습니다.

 

 

그리고 글쓴님께 이 문제에 대한 '답'을 드리자면 그냥 80% 입니다. 

 

물론 앞서 던진 자유투로 인해 선수의 근육내 피로도가 쌓였다면 더 내려갈수 있을 것이고, 앞서 던진 자유투로 감을 잡았다면 더 높아질 수도 있겠지만...이러한 부분까지 고려하기는 어렵습니다.

 

그리고 과거 자유투 성공률이 80% 라는 것이 충분히 많은 자유투 시도에 따라 얻어진 결과값이라면 80%는 실제 이 선수의 '현재' 자유투 성공률에 가장 가까운 추정치라고 볼 수 있고 매 자유투 시도는 이전 자유투 시도에 영향을 받지 않는다고 가정했을때 자유투 성공률은 80%가 됩니다.

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2018-11-09 11:09:21

1 자유투에 수학적 확률이 있다고 한적 없습니다.
2 수학적 확률을 언급한것은 본문에서 주사위나 동전의 확률이 수학적 확률로 언급됐기 때문입니다.
3 본문을 쓰신 회원님은 잘 이해하신 것 같네요

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Updated at 2018-11-09 11:39:36

1. 굳이 없는 개념을 현재 본문에서 분리해서 언급할 필요가 없습니다

2. 1과 같습니다. 엄밀하게 자연계에 존재하는 확률시스템을 언급할게 아니라면 확률과 통계는 일상적으로 혼동되어 사용됩니다. 굳이 확률과 통계를 분리해서 사용해야할 이유는 선수의 자유투에 수학적 확률이 존재한다는 주장을 해야할때 외에 없어보이네요. 자유유투 성공 '확률'이라고 해도 본문의 내용이 혼동될 가능성도 없어보입니다.

3. 관련 전공자로서는 이해가 안되네요

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Updated at 2018-11-09 11:58:14

3자가 보기에는 좀 예민하시다는 느낌이 드네요,

글쓴분은 (공정한) 주사위의 경우 확률이 1/6이라고 하신건 수학적확률을 언급하신거고요, 나올수 있는 결과가 총 6개이고 그게 동일한 확률이라고 가정하므로 1/6이라고 생각하는 건데, 본문에서도 그 다음 자유투는 들어가고 안들어가고의 두 경우이니 50%냐는 말씀이 있으시죠. 

 

"마찬가지로 자유투를 던진다고 하면

단순히 들어간다 아니다라고만 가정하면 
1/2 확률일텐데..."

 

통계적확률 밖에 존재하지 않는 자유투에 수학적 확률의 접근법을 글쓴분이 언급하셨으니 그에 대한 말을 베다 님이 하는게 그렇게 이상한가 싶습니다. 

 

그리고 이게 전공자를 언급하실만큼 대단히 복잡할 설명과 고차원적 해석이 필요한 부분같지도 않고요.

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Updated at 2018-11-09 13:49:26

간단하게 말씀드려서,

자유투 확률이라고 해도 아무런 혼동이 없고 개념상으로도 문제가 없음에도 불구하고, 통계와 확률을 구분해야 한다고 하셔서 드린 말씀입니다.

 

통계와 확률은 다르지만, 구분해야하는 것은 이런 경우가 아닙니다. 지금 본문과 같은 내용에서는 전혀 구분할 필요가 없죠.

 

엄밀히 설명하면 굉장히 복잡해지는데, '일반적'으로 80%는 자유투 성공 '확률'이 맞습니다. 

 

만약 누군가가 80%는 실제 확률이 아니라 통계적인 관찰결과일 뿐이다 라고 한다면 이때 확률은 실제 그 확률시스템이 가지고 있는 확률의 참값을 의미합니다. 물론 거기까지 생각하고 말한건지는 잘 모르겠습니다만.

 

 

아무튼 이 내용에 이어 말씀을 드리면 말씀하신 1/6은 수학적 확률이 맞으면서도 아닙니다. 1/6이라는 숫자는 확률이지만, 이게 주사위가 가지는 실제 확률시스템의 참값인지는 알 수 없습니다. 주사위를 그냥 수없이 던져보니 1/6에 수렴했기 때문에 1/6이 실제 확률이구나 하고 추정하는 것이죠.

 

정말 무한대로 시도하면 예를 들어 주사위가 1과 2사이에서 설 가능성도 분명히 있어요. 정말로 주사위가 가진 확률시스템이 어떤지는 아무도 모르는 거죠.

 

하지만 이 논의는 본문의 질문과 전혀 상관없는 얘기이기 때문에 코멘트를 달았던 겁니다. 간단하게, 본문의 문제를 이해하기 위해서는 확률과 통계를 구분할 필요는 전혀 없고 독립시행에 대해서만 이해하면 됩니다.

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2018-11-09 13:59:08

주사위의 수학적 확률은 1/6이 맞죠.

물론 공정한 주사위와, 그리고 결과는 6개 중의 한 면으로 나온다는 전제가 들어가고요. 원래 수학에서 전제, 가정없는 경우가 없지 않습니까,

 

주사위 던지기 시행수가 늘어남에 따라 통계적 확률이 수학적 확률에 다가가기에 반대로 수학적 확률의 신뢰도가 힘을 받게 됩니다. 추세를 그려보면 정확히 1/6에 근사되어가고요.

 

하지만 본문의 글쓴분은 자유투 시행시 가능한 결과, 들어감, 들어가지 않음 이라는 2개의 결과를 통해 "확률=1/가능한 결과값" 을 기반으로 50%이지 않을까라고 생각하시는 수학적 확률에 해당하는 접근법을 말하셨고 이에 대한 베다 님의 지적이 맞는 부분이 분명 있습니다. 

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2018-11-09 14:20:17

짧게 말씀드릴게요. 시간이 많지 않아서 양해부탁드립니다.

 

1. 1/6은 말씀하신대로 가정입니다. 1/6이 실제로 맞다는것은 물리적으로 이 주사위는 모서리로 설 수 없다는것을 증명해야 하겠지요. 그 전에는 1/6이라는 것은 가정입니다. 그리고 본문에서도 자유투 성공률이 80%라고 가정했구요. 그렇기 때문에 80% 부분에서 더이상 통계와 확률을 구분할 필요가 없습니다.

 

2. 윗 댓글에서 나온 "자유투80%는 확률이 아니라 기록에 의한 통계이다"

-> 저는 이 부분에 대해서 계속 얘기하고 있습니다. 이 말은 80%는 실제 확률시스템의 참값이 아니라 관찰치 이다 라는 의미인데, 이는 본문과 전혀 무관한 내용입니다. 일단 애초에 가정을 하고 있을 뿐더러, 확률과 통계를 구분한다 해서 문제를 이해하는데 어떠한 도움도 되지 않습니다. 문제는 단순합니다. 성공률이 80%인데 이 시행이 독립이냐 아니냐, 이것만 이해하면 됩니다. 실제 참값의 개념과 이해여부는 본문의 문제를 이해하는데 그다지 필요가 없죠. 저는 계속 이 부분을 말하고 있습니다.

 

3. 말씀하신 "하지만 본문의 글쓴분은 자유투 시행시 가능한 결과, 들어감, 들어가지 않음 이라는 2개의 결과를 통해 "확률=1/가능한 결과값" 을 기반으로 50%이지 않을까라고 생각하시는 수학적 확률에 해당하는 접근법을 말하셨고 이에 대한 베다 님의 지적이 맞는 부분이 분명 있습니다. " ... 부분은 윗 댓글에서 언급한 내용이 아닌것 같습니다. 저는 그 부분에 대해서 전혀 생각하고 있지 않아요

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Updated at 2018-11-09 15:21:08

주사위가 1과 2 사이면이 나오는 것보다 더 있을법한 예외사항이 있는 동전던지기를 예로 들어보죠, 

 

앞면과 뒷면이 나올 수학적 확률은 당연히 1/2입니다. 여기에도 전제가 들어가 있지요. "옆면으로 서는 경우는 없다." 뭐 이런 거요. 

 

근데 서는 경우가 정말 없나요? 아니요, 전 제가 직접 했는데 선적도 있습니다. 이제 가정이 틀렸으니 수학적 확률이 1/2가 아니게 되나요? 전혀 그렇지 않습니다. 이건 증명의 문제가 아닙니다. 

 

그런 식의 접근이면 동전 던지기나 주사위의 수학적 확률은 구할수가 없습니다. 귀납적 추론으로 지금까지 수조번의 시행에서 주사위의 1과 2사이의 면이 나오지 않았다고 하더라도 다음 시행에서 옆면이 나오지 말라는 법이 없으니까요.

 

수학적 확률은 그런 것을 배제하는 것을 전제하고 구합니다. 

 

자유투 성공률이 80%라고 가정했기에 그것이 통계가 아니게 되는 것이 아닙니다. 그럼 저 선수가 그 다음 한번 시도하고 멈췄을때 이 선수의 자유투 성공률은 여전히 변치 않고 80%인가요? 

 

만약 변치 않고 80%다라고 말씀하시면 더이상 기록에 의한 통계가 아니며,

넣은 것으로 인해 변화하였다고 하면 말씀하신 참값의 개념이 아니죠. 

 

여기에서 순수한 참 예측값으로의 확률과 통계의 양립불가능성이 나옵니다. 

 

2,3 번에 남가신 코멘트에 대하서는 언급하지 않겠습니다. 

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2018-11-09 13:00:57

1 없는데 있다고 착각하시는 듯 해서 언급한겁니다. 제 댓글에 필요와 불필요를 판단 부탁드린적도 없고요.
2 그럼에도 둘은 다릅니다.
3 이해를 바라지 않습니다.

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2018-11-09 10:22:59

앞에서 시도한 자유투 시도 9번과는 별개의 독립적인 시도이니... 그대로 80% 아닐까요?

실제로는 뭐 멘탈이나 체력에 따라 달라질 여지가 있겠지만요.

WR
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2018-11-09 10:37:19

네 멘탈 체력등 다른변수도 굉장히 많겠죠^^

1
2018-11-09 10:34:55

80%라는 것은 수많은 자유투 시도를 통해 얻어진 통계량임을 생각해본다면 단독 1번의 자유투 시도에 대해서는 일단 넣을것이라고 예측하는게 더 정확할 것 같네요 ㅎㅎ 독립적이니까요.

WR
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2018-11-09 10:38:33

어렵군요 ㅠ
감사합니다

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2018-11-09 10:37:47

 엄밀히 따지면 모르는게 맞습니다. 그 전까지 던져서 성공한 %가 80%고 앞으로 던질 공에 대한 확률은 알 수 가 없죠. 던지기 직전 상황 손가락이 삐었다면 확률이 내려가겠죠. 보통 상황에서 지금까진 쌓여진 표본이 충분하다는 가정을 하면 성공률이 성공확률로 편의상 대체한다면 던질 때마다 80%입니다.

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2018-11-09 10:38:13

원래 80%였고, 8/9면 80%가 넘으니까 9개 던진후 자유투 성공률은 80%가 넘었죠. 따라서 다음 자유투 성공률은 80%가 넘는다고 보통 얘기를 합니다.

다만 80%가 절대적으로 주어진값이면 80%죠.

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Updated at 2018-11-09 11:09:48

베이즈 정리에 대해 공부해보시면 조금 다른 시각으로 문제를 대하실 수 있습니다. 만약 자유투 성공률을 실시간으로 업데이트 한다면 처음 9개의 자유투를 쏘기전과 쏘고난 후의 자유투 성공률은 더이상 같지않죠. 80퍼센트에서 조금 올랐을 겁니다.

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Updated at 2018-11-09 13:09:29

사전, 사후 분포를 가정하는 베이즈통계와
모수는 일정하다는 빈도주의 통계
둘 중 어느 쪽으로 판단해야하는 지 문제는
너무 전공자 입장에서 바라보는 것 같습니다

각 시행은 독립시행이므로
다음에도 80%의 성공률이다
라고 판단하는게 교과서에서 배운
일반적인 상식인 것 같네요

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2018-11-09 11:13:56

 인간은 주사위가 아닙니다. 80% 확률을 입력해 놓고 독립시행으로 넣었다 못 넣었다는 하는 게임 캐릭터가 아닙니다.

 

 아주 많은 데이터가 있다면 결국 저 경우의 결과는 평균 자유투 성공률에 근접할 것이겠지만.. 그날그날의 컨디션, 체력 상황, 바로 전 상황 등등에 따라서 다릅니다. 이런 변수들을 대부분 인디펜던트하게 보긴 하겠지만...

 

그렇게 가정하고 그냥 예측할 수 있는 기대 성공률이 얼마이다. 정도로 얘기하는 거죠. 그러니까 "이거다"라는 정답이 있는 게 아니고, "이거라고 추정해"라는 추정치가 있는 것이죠. (사실 이건 주사위나 게임 캐릭터에서도 마찬가지죠.) 대부분 그 추정치는 노말 분포라 가정하고 평균값을 쓰죠.

WR
1
2018-11-09 11:16:18

답글 모두 감사드립니다.^^
이해가 되는 부분도 있고 안되는 부분도 있는데
저도 좀더 공부해봐야겠네요.
감사합니다

1
2018-11-09 11:30:45

지금 하는 자유투가 들어갈 확률은 성공과 실패의 50% 아닌가요?

그 이전의 자유투는 지금 하는 자유투랑 상관 없는 것이구요

다만 지금 자유투에 대한 기대할 수 있는 확률은 80%라고 할 수 있구요.

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2018-11-09 11:54:04

이전과는 독립이고,
지금 자유투가 들어갈 확률은 각자의 능력치(그리고 이는 통계치에 근사함)이지, 경우의 수에 따른 50퍼센트가 결코 아닙니다. A경우 B경우의 확률이 동등하지 않죠. 사자랑 나랑 싸우면 내가 이길 확률이 50퍼센트인 게 아닙니다.

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Updated at 2018-11-09 11:58:43

흔히 도박사의 오류라고 하는 상황 아닌가요?

참고해 보세요!

 

 | https://terms.naver.com/…

 

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2018-11-09 11:58:06

종합해드릴게요.

1. 자유투 80% 를 어떻게 볼 것인가?

확률에는 크게 수학적 확률, 통계적 확률, 기하적 확률 등이 있습니다.(중고등부 범위)

수학적 확률은 단순계산으로 뽑아낸 가상의 수치이고,

통계적 확률은 통계적으로 확인한 실제 수치입니다.

기하는 길이, 넓이, 부피 등 기하적인 비율로 파악하는 것이니 여기선 필요 없네요.

 

자유투 확률이라는 것은 통계적 확률입니다. 그렇기 때문에 절대적으로 옳은 수치,

항상 적용 가능한 값이라기 보단 기존 정보를 토대로 내린 예측치에 가깝죠.

그렇기 때문에 새로운 시도에 이와 같은 수치를 적용하는 것은

충분히 설득력 있지만 반드시 옳다고는 볼 수 없습니다.

 

물론 통계적 확률이 어마어마하게 축적되면 수학적 확률로 봐도 무방합니다.

이 선수가 무한대에 가까운 자유투를 던지고 그 안에서 80%의 성공률을 보였다면

앞의 9번을 성공하든 실패하는 성공률에 큰 변화는 없을 겁니다.

그렇다면 마지막 던지는 슛은 80%의 성공률로 봐도 무방합니다.

 

2. 수학적 계산과 실제 스포츠와의 차이

만약 이 문제를 중2~고3 애들에게 내준다면(중2에 확률을 배웁니다)

그 친구들은 무조건 80%라는 답을 합니다.

 

NBA를 즐겨 보던 우리야 자유투 하나하나를 던질 때 주사위처럼

확률을 계산하지는 않죠. 앞 선 시도의  성공 혹은 실패에 대한

심리적 요인, 경기 내외적인 환경 등을 고려하면 80%를 매번 동일하게

적용하는 것이 얼마나 무의미한 일인지 알고 있습니다.

 

그런데 그렇게 보면 수학적 문제는 너무 많은 오류를 포함합니다.

그래서 문제를 조금 단순화시켜 보는 부분이 있죠.

단순한 주사위처럼 매번 80%라는 성공률로 보는 거죠.

위에서 언급한 무한대에 가까운 시도를 가정하기도 합니다.

 

그래서 앞 선 시도에 상관 없이 새로운 시도는 매번 동일한

성공률을 갖습니다. 전문용어로 복원추출이라고 합니다.

복원추출은 매 시도가 서로 독립(확률의 영향을 받지 않음)

이기 때문에 확률에 변화는 일어나지 않습니다.

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2018-11-09 14:12:49

추천 드리고
갑니다

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2018-11-09 16:44:01

경우의 수가 2개인 것과 확률이 50%인 것은 다르지 않을까요?
들어간다 아니다 두 가지 경우 밖에 없다고 하더라도 확률이 50%라고 말하기에는 다소 무리가 있어보이는데..
예를들어 육면체 주사위의 5면이 숫자 1이고 한 면이 숫자 2라면 경우의 수는 2가지 이지만 확률은 1/6과 5/6일테니까요

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