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(잡념)새벽에 심심해서 생각해본 몬티홀 딜레마

 
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2018-06-23 03:12:30

이미 유명해서 다들 아시는 퀴즈인 몬티홀 딜레마라는 게 있지요.

퀴즈쇼에 3개의 문이 있고 그 문들 중 하나에는 뒤에 신형 자동차가, 나머지 두개의 문 뒤에는 염소가 있는 문제말입니다.
사회자는 문 뒤에 무엇이 있는지 전부 알고 있고요.

여기서 플레이어가 1,2,3번 문 중에 1번 문을 선택했다고 했을때, 사회자는 3번 문을 열어서 염소를 보여줍니다. 그리고 선택을 바꿀 것인가 묻게 되죠.
그럼 여기서, 선택을 바꾸는 것이 더 좋을까요? 아니면 유지해야 할까요?

이 딜레마에서의 정답은 이미 널리 알려진 바와 같이 “바꿔야 한다”입니다. 그 이유는 사회자가 문을 열어 염소를 보여줌으로서 확률적인 변수가 바뀌어서 문을 바꾸었을 때 자동차일 확률이 66.6%가 되기 때문이라고 합니다.

그런데 저는 저 설명이 쉽게 이해가 되지 않더군요.
‘아니, 3번 문이 나가리 됐으면 1번 아니면 2번이니까 50대50아니야?’라고 생각이 들뿐이죠.

그러다가 오늘 새벽 잠도 안오고 심심해서 뒤척이다가 이 퀴즈를 좀 생각해보고 제 나름대로 야매(?)설명 방식을 찾아냈습니다.

우선 저는 염소를 a와 b 두마리로 구분지어 보겠습니다. 사회자는 새차와 염소a,b가 어디있는지 모두 알고 있습니다. 편의상,
1-염소a / 2-새차 / 3-염소b
라고 가정하고 생각해보려고 합니다.

어짜피 맨처음 플레이어가 선택할 수 있는 경우의 수는 3개입니다. 그리고 사회자는 중간에 문을 열어서 반드시 염소를 보여주어야 합니다. 그렇다면 해당 상황에서 선택을 바꾼경우와 고수한 경우의 결과를 비교해보겠습니다.

1번 문을 선택할 시 사회자는 3번문을 열어 염소b를 보여줄 수밖에 없습니다.
선택고수 : 염소a
선택변경 : 새차

2번 문을 선택할 시 사회자는 1번 혹은 3번 문을 열어 염소a,b 중 하나를 아무거나 보여줄 것입니다
선택고수 : 새차
선택변경 : 염소a or 염소b

3번 문을 선택할 시 사회자는 1번문을 열어 염소a를 보여줄 수밖에 없습니다.
선택고수 : 염소b
선택변경 : 새차

결론
선택고수시 새차가 나올 확률 33.3%
선택변경시 새차가 나올 확률 66.6%

결국 지극히 확률적인 문제였더군요. 즉, 사회자가 문을 열어주는 것은 선택에 있어서 확률을 50대50으로 만드는 것이 아니라 선택을 변경할 시 애초의 확률 33.3%에 33.3%의 확률을 더해주는 것이지요.

다만 여전히 실증적으로 그렇게 확률이 나타나는지에 대해서 의구심이 있긴 하네요. 그러나 통계, 확률이 거짓말을 하지 않는다는 유명한 실험들을 몇번 보고 나니 위 실험 결과 역시 같은 것이라고 생각이 됩니다. 아무튼 확률이란 것은 참 알다가도 어렵고 논리적인 변수의 통제라는 것이 얼마나 묘한 것인지 새삼 느끼게 되는 새벽입니다.


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Comments
2018-06-23 03:30:27

http://www.mathwarehouse.com/monty-hall-simulation-online/

 

몬티홀 문제는 너무 유명한 이야기라 시뮬레이션 사이트도 여러개가 있죠

 

직접 돌려보시면 됩니다.

1
Updated at 2018-06-23 03:44:04

몬티홀 문제의 핵심은 내가 첫 선택한 문을 제외하고 힌트를 준다는 거죠. 그러므로 내가 처음 선택한 문에 대한 단서는 아무것도 주지 않습니다. 그 안에 차가 있든 염소가 있든 상관 없이 절대 문을 열지 않아요. 확률에 변화를 줄 요소가 없죠. 그에 반해 첫 선택을 제외한 나머지 두 문중에 염소가 있는 문을 알려줬으니 열지 않은 나머지 문에 차가 있을 확률은 비약적으로 올라가는 것이죠. 그리고 사실 수학 문제로 나온다면 굳이 머리 쓸 필요없이 경우의 수로 풀어버리면 됩니다.

4
2018-06-23 03:59:39

문이 3개가 아니라 100개라고 가정해보세요
하나 고르면 98개 빈 문을 열어줍니다
그래도 안바꿀건가요?

2018-06-23 05:46:28

오... 이러니까 확 이해되네요

2018-06-23 08:29:12

저도 궁금한게 있는데 사회자가 알고 열어주는 거랑 모르고 열어주는 거랑 확율 차이가 있는거죠???

1
2018-06-23 10:06:27

모르고 열어주면 사회자가 자동차를 열수도 있게됩니다. 그렇게 되면 사회자는 그냥 경우의 수를 하나 지워버리는것 뿐이죠
위에 실드 마스터님 예시를 빌리면 100개중에 98개를 열면 그중에 자동차가 있을 확률이 100분의 98이지만 사회자가 자동차 위치를 알고 열어주면 그쪽에 자동차가 있을 확률은 0이됩니다

2018-06-23 12:36:22

염소 고르면 차를 준다는데 안 바꿀 이유가 없겠지요. 다만 제가 사회자라면 처음에 염소를 골랐을 때 바꿀 기회따위는 주지 않을테니, 참 부질없는 문제 같습니다. 무조건 염소 문을 열어준다는 건, 차가 있는 위치를 사회자가 알고 있다는 소린데, 손해보는 장사를 할 필요는 없겠죠. 저놈 차를 골랐네? 싶을 때만 심리전을 걸어볼 테니, 바꾸면 무조건 염소라는 게 제 생각입니다. 결국은 사람이 하는 일인데.

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