시리즈 2 : 축복이 아니라 재앙이었던 금융이론

박사학위 논문에서 바슐리에는 주식의 가격이 시장의 모든 합리적 정보와 예측을 반영한다면, 미래의 가격 변화는 브라운 운동 따른다고 주장했습니다. 하지만 당시로선 혁신적이던 바슐리에의 학위논문은 학계에서 주목받지 못했고, 그는 소르본 대학의 조교수로 재직 중 1차 대전이 일어나자 사병으로 지원해서 참전했고, 종전 후 그의 이전 조교수 자리가 없어짐으로 인해 미국으로 건너가 주목받지 못한 평범한 학자로 1946년에 일생을 마칩니다.

그렇지만 바슐리에의 학위논문 ‘투기이론’은 1950년대 중반 미국의 유명 경제학자 폴 새뮤얼슨에 의해서 재발견되고, 재평가됩니다. 새뮤얼슨은 바슐리에의 아이디어를 대부분 받아들였으나, 주식 가격의 변화가 통상적인 브라운 운동으로 표현된다면 주가는 0 밑으로 움직일 수도 있다는 모순을 극복하기 위해서 새뮤얼슨은 바슐리에의 주가 모형을 수정합니다. 이 부분에서 이해가 안 되는 사실은 우리의 키나 몸무게도 음수가 될 수 없지만 정규분포로 잘 설명됩니다. 주가가 음수로 되는 것이 두려웠으면 정규분포를 사용하는 것도 두려웠어야 맞지 않을까요?

여하튼 새뮤얼슨은 주식 가격이 무작위적인 양만큼 상승하거나 하락하는 것이 아니라, 무작위적인 비율만큼 상승하거나 하락하는 것으로 바슐리에의 모형을 약간 수정해서 주가모형을 만듭니다. 다시 말하면 새뮤얼슨의 주가모형 역시 여러 사람이 주식을 거래하는 방식은 서로 관계가 없다는 가정이 바탕이 된 것입니다. 새뮤얼슨의 모형은 주가의 기대 수익을 제외하면 주가에 로그함수를 취한 값이 브라운운동으로 표시된다는 말과 같습니다. 이는 '기하 브라운 운동 (Geometric Brownian motion)'으로 불리며 그 많은 모순에도 불구하고 학계와 업계에서 아직도 가장 많이 사용됩니다. 새뮤얼슨의 기하 브라운 운동 모형은 학계에서 그가 차지하는 권위에 힘입어 현대 주가모형으로 수십년 동안 소위 랜덤워크 마피아로 불리면서 주류 경제학계와 수리금융계, 더 나아가서는 실무 금융계의 큰 부분을 지배합니다.

새뮤얼슨이 바슐리에의 논문을 재발견 할 즈음 브라운 운동에 대한 연구는 일본의 수학자 ‘이토 키요시’에 의해서 수학의 새로운 장르로 탄생합니다. 이 장르는 확률 미적분학으로 불립니다. 이토는 브라운 운동의 미세한 증분의 제곱은 확률성이 사라져서 시간의 미세한 증분과 같음을 발견합니다. 즉 브라운 운동의 미세한 증분은 제곱하면 확률적이지 않게 됩니다. 이를 바탕으로 그 유명한 ‘이토의 보조정리(Ito's Lemma)’를 사용하여 확률미분방정식(SDE)의 이론을 정립하고 이를 발전시킵니다. 이토의 보조정리는 1970년대 초반 피셔 블랙, 마이런 숄즈 그리고 로버트 머튼이 주식에 대한 옵션의 가격을 구하는 데 결정적으로 사용되며, 결국 숄즈와 머튼은 후에 지난 번 글에서도 언급한 헤지펀드 LTCM을 이끌며 노벨 경제학상을 받으나 정규분포에 지나치게 의존한 그들의 가격이론모형이 약점 때문에 1998년에 헤지펀드 LTCM은 파산합니다.

역사상 가장 뛰어난 금융이론가로 칭송받던 로버트 머튼이 정규분포에 기초한 주가와 환율모형의 약점을 몰랐을 리가 없지만 그는 2008년 금융위기를 맞는 순간까지도 정규분포에 기초한 정교한 모형에 빠져있었습니다.

주가모형에 정규분포가 맞지 않는다는 것은 이미 알려졌습니다. 블랙 먼데이의 상징인 1987년 10월 19일 월요일에 미국 증시의 대표 주가지수인 다우존스 종합지수가 그날 하루 동안 2247에서 1739로 무려 22.6%가 폭락했습니다. 미국 기업 가치의 약 1/4을 흔적 없이 날려버린 87년 블랙 먼데이의 악몽 같은 대폭락은 그 이후로 시장 참여자의 뇌리에서 결코 지워지지 않았고, 그때까지의 금융이론에도 커다란 충격과 변화를 가져왔습니다. 87년까지 주식의 가격이나 주가지수의 움직임이 비교적 새뮤얼슨의 모형과 어긋나지 않았습니다. 새뮤얼슨의 생각대로 사람들은 서로 영향을 주고받지 않은 채 주식을 거래했기 때문입니다.

하지만 주가지수가 새뮤얼슨 모형을 따른다고 가정했을 때 다우존스 종합지수가 하루에 22.6% 하락하는 도저히 일어나기 힘든 일입니다. 주가나 주가지수가 기하 브라운 운동을 따른다는 것은 주식시장이 정상적인 상황이거나 매 순간 감정이 없는 기계들에 의해서 움직일 때는 타당합니다. 하지만 시장이 약간이라도 비정상적인 상황에 들어서면 사람들의 행동은 급격한 동조화 현상을 보입니다. 실제로 87년 블랙 먼데이의 폭락은 시장의 악재 때문이 아니라 급격한 공포감에 빠져든 대다수 투자자들의 동조 투매 때문에 발생한 것이었습니다.

기하 브라운 운동에 따라 주가지수의 수익률이 정규분포를 이룬다면 2008년 리먼 브라더스 파산 직후처럼 하루에 다우존스 종합지수가 7% 하락하는 경우는 수 천만 년에 한번 나오기도 어렵습니다. 하지만 120년 남짓 된 다우존스 종합지수 역사에 7% 하락은 16번이나 더 있었습니다. 어림잡아 9~10년에 한번 씩은 이론적으로 수 천만 년에 한번 발생하기도 힘든 증권시장의 대 폭락이 발생했던 것입니다. 다우존스 지수가 6% 하락하는 것도 이론적으로는 백만년에 한번 나올까말까 한데, 실제는 약 5~6년마다 한번씩 발생하고 있습니다.

87년 블랙 먼데이 대폭락을 계기로 증권 용어 사전에는 두꺼운 꼬리 (그리고 변동성 미소)라는 말이 추가되었습니다. 증권의 가격, 주가지수, 이자율 등의 수익률 분포를 보면 이론적으로 정규분포 모양의 곡선을 얻습니다. 그런데 정규분포 곡선의 그래프는 꼬리가 x 축에 아주 바싹 붙어있지만, 증권의 가격이나 주가지수와 같은 두꺼운 꼬리(팻-테일) 분포에서는 그렇게 바싹 붙어있지 않습니다. 물론 팻-테일 은 기계적이고 확률적인 우연에 의해서 생기는 것이 아니라 사람들의 심리적 동조화에 의해서 발생하는 것입니다.

증권투자에서는 위험을 피하기 위해서 (다변량 정규분포 이론대로) 포트폴리오를 이루는 증권들의 수익률의 상관계수에 따라 분산투자 하라고 말합니다. 하지만 수익률의 상관계수는 과거의 자료로부터 유추되는데 87년 블랙 먼데이와 같은 대폭락 시장에서는 과거의 상관계수와 무관하게 모두 같은 패턴으로 수직강하 합니다. 포트폴리오 분산과 같은 투자 방식으로는 블랙먼데이의 폭락을 견뎌낼 수 없습니다. 90년대 중반에 LTCM은 잘 분산된 포트폴리오를 사용했습니다. 하지만 LTCM 포트폴리오 역시 과거의 상관계수로부터 수량화된 위험을 토대로 짜였습니다. 즉 다시 말해서 ‘시장이 과거와 같이 움직인다면’ 이라는 단서가 LTCM의 위험을 수량화할 때 붙었어야 합니다. 세계적인 금융위기와 러시아의 모라토리엄 선언 이후의 시장은 과거와 같은 움직임이 아니었습니다.

LTCM의 차익거래는 고평가되고 안전하거나 유동성이 풍부한 자산을 매도하고 저평가된 자산을 매수했습니다. LTCM은 보험료를 받고 보험을 판매한 경우와 많이 흡사합니다. 암보험의 판매자는 고객들이 모두 암에 걸려서 보험금을 청구하는 케이스는 거의 고려하지 않아도 되지만, 블랙 먼데이나, 금융위기의 상황에서는 거의 모든 투자자들이 미국 국채와 같은 안전상품으로 몰리는 동일패턴을 형성하기 때문에 고객들이 모두 보험금을 청구하는 현상이 발생할 수밖에 없습니다. LTCM처럼 상대가치 투자를 하는 경우 상대적으로 고평가되는 미국 국채는 항상 매도 대상입니다. 금융위기가 발생하는 경우 미국 국채의 가격이 오르기 때문에 상대가치 투자자들은 손해를 입을 수밖에 없습니다. LTCM은 당시 1:28의 차입비율로 채권 및 스왑 거래를 했기 때문에 투자금액의 4%의 손실을 입는 경우 파산상태가 됩니다. 87년 블랙 먼데이를 LTCM의 트레이더들이 기억 못할 리 없고, 팻-테일 분포에 대해서 모를 리 없었지만 지나친 자신감과 탐욕이 함께 어우러진 결과 천재들의 이성은 발휘되지 못했고 LTCM의 트레이더들은 자신들의 전체 포트폴리오가 갖고 있는 위험을 잘못 추정했던 것입니다.

그들의 이론에 따르면 LTCM이 포트폴리오를 이루는 거의 모든 포지션에서 손실을 입을 확률은 무시해도 좋을 만큼 극단적으로 낮았으나, 아시아 금융위기에 이어 러시아의 국채가 채무불이행됨으로써 전 세계 모든 금융 증권들의 안전 상품으로 탈출화가 도미노처럼 이어졌고, LTCM의 포트폴리오는 이론가격과 실제가격의 격차가 더 벌어짐으로 인해서 모든 포지션에서 엄청난 손실을 입었고, 그 손실의 규모는 47억 달러의 자본금을 전액 잠식했습니다.

이러한 교훈에도 정규분포에 기초한 금융상품가격이론은 10년 후인 2008년에 더 큰 재앙을 가져오게 됩니다. 이에 대한 이야기는 다음 글에서 이어나가겠습니다. 정신 없이 글을 쓰다 보니까 너무 길어지고, 뒷마무리도 마음에 들지 않네요.